일상 생활에서 속도는 절대적인 것이 아니라 상대적이다. 보는 사람의 입장에 따라 바뀌기 때문이다. 예를 들어, 투수가 공을 시속 150km로 던질 때 포수가 앞으로 시속 20km로 이동하고 있다면, 투수의 입장에서는 공의 속도가 시속 150km이지만 포수의 입장에서는 시속 170km와 같다. 하지만 빛은 이러한 상대성이 적용되지 않는다. 어떤 사람이 어떤 상황에서 빛을 관측하던 간에 빛의 속도(초속 약 30만 km)는 동일하다. 이것이 바로 광속불변의 원리다. 여러 실험들을 통해서 증명이 되었는데 그 내용은 [1]을 참고하자. 


이 광속불변의 원리를 기억하면서 하나의 상황을 상상해보자. 하나의 우주선이 있다. 이 우주선의 밑바닥에서 빛을 쏴서 천장에 반사시켜 다시 밑으로 돌아오는 시간은 1초다 (그림 1). 계산의 편의를 위해서 우주선의 높이를 빛의 속도의 절반인 c/2 km로 설정했다. 

그림 1. 우주선이 멈춰있을 때.

이제 이 우주선이 빛의 속도의 99%에 달하는 속도로 움직인다. 빛의 속도는 불변이기 때문에 지구에서나 우주선 안에서나 이 빛의 속도는 동일하게 초속 30만 km(앞으로는 편의를 위해 c로 표현)로 관측된다. 그러면 우주선이 0.99c의 속도로 운행할 때 지구에서 본 사람이 측정한 빛의 왕복 시간은 얼마일까? 우선 우주선 안에 있는 사람이 빛의 왕복 시간을 측정했을 때는 멈춰있을 때와 동일하게 1이다. 우리가 달리는 버스 안에서 물건을 위로 던졌을 때 바로 아래로 떨어지는 것과 같이, 우주선이 움직여도 우주선 내에서 빛이 왕복한 것을 관측한 모습은 그림 1과 같을 것이다. 그러나 지상에서 볼 때는 빛이 그림 2와 같이 움직이게 보일 것이다. 


그림 2. 우주선이 움직일 때.

지구에서 측정한 빛의 왕복 시간을 계산하기 위해서는 피타고라스의 정리만 알면 된다. 그림 2를 그림 3과 같이 변환하면 직각삼각형이 된다. 


그림 3. 피타고라스의 정리를 이용해서 지구에서 관측한 빛의 왕복 시간 측정

계산은 매우 간단하다.


계산결과 지구에서는 7초로 측정됨을 알 수 있다. 이 말은 즉 우주선 내에서의 1초는 지구에서의 7초와 같다는 것이다. 좀 더 확장시키면 우주선에서의 10년은 지구에서의 70년과 같은 것이다. 우주선의 시간으로 10년 동안 우주여행을 하던 사람들이 지구에 돌아왔다면, 자신은 10살 더 먹은 반면 다른 친구들은 70살을 더 먹어서 많은 친구들이 이미 하늘 나라에 갔을 수도 있다. 방금은 우주선의 속도를 빛의 속도의 99%라고 했는데, 우주선의 속도를 v라고 하면, 아래와 같이 전개된다.


...(1: 로런츠 변환식)


도출된 식을 로런츠 변환식이라고 한다. 이 식을 잘 살펴보면 우주선의 속도 v가 작으면 작을 수록, 우주선에서 관측한 시간과 지구에서 관측한 시간 간의 차이는 미미해짐을 알 수 있다. 그리고 우주선의 속도가 크면 클수록, 이 차이가 커진다. 즉 빛의 속도에 가까워질수록 시간의 흐름이 느려진다. 이처럼 우리가 불변이라고 생각하는 시간, 무게, 길이가 상황에 따라 변할 수 있다는 것이 상대성 이론의 핵심이다. 



<참고 자료>

[1] http://blog.naver.com/lsmnmh25/220999677005 => 분당이웃님의 특수 상대성 이론에 대한 포스팅, 5부작

[2] 재밌어서 밤새읽는 수학자들 이야기, 사쿠라이 스스무, 더숲

Posted by 톈진난만

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