가우시안(정규) 분포와 라플라스 분포의 차이
오늘은 가우시안 분포와 라플라스 분포의 확률밀도함수를 비교함으로서 둘의 차이에 대해서 살펴보도록 하겠습니다.
먼저 가우시안(Gaussian) 분포의 확률밀도함수(probability density function, PDF)는 다음과 같습니다.
$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{1}{2}\left (\frac{x-\mu}{\sigma} \right )^2}\: -\infty < x < \infty $
여기서 $\mu$는 평균이고, $\sigma$는 표준편차입니다. 가우시안 분포의 PDF 그래프를 그리면 종모양처럼 됩니다.
익숙한 그림이죠? 어떤 종류의 시험이든 그 시험점수는 가우시안 분포를 띕니다. 또한 성인 남성의 키, 체중 등도 가우시안 분포를 띕니다. 아주 많은 확률변수들이 가우시안 분포를 따른다고 볼 수 있습니다. 참고로 위 그래프를 그리기 위해 필요한 matlab 코드는 다음과 같습니다.
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clc, clear, close all
x = -5:0.01:5;
mu = 0;
sigma = 1;
gaussian_pdf = (1/sqrt(2*pi*sigma^2))*exp(-0.5.*((x-mu)/sigma).^2);
figure(1)
plot(x, gaussian_pdf)
title('Gaussian distribution PDF')
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반면, 라플라스(Laplace) 분포의 PDF는 다음과 같습니다.
$ f(x) = \frac{1}{2b}e^{-\frac{|x-\mu|}{b}}\: -\infty < x < \infty $
여기서 $\mu$는 역시 평균이고, $b$는 스케일(scale) 파라미터입니다. 라플라스 분포에서 분산은 $2b^2$으로 계산하기 때문에, 스케일 파라미터 b는 표준편차와 연관이 있다고 볼 수 있습니다. 라플라스 분포의 PDF 그래프를 그리면 뾰족하고 가파른 산처럼 됩니다.
위 그래프는 다음의 matlab 코드를 이용해서 그렸습니다.
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clc, clear, close all
x = -5:0.01:5;
mu = 0;
b = 1;
laplace_pdf = (1/(2*b))*exp(-abs(x-mu)./b);
figure(1)
plot(x, laplace_pdf)
title('Laplace distribution PDF')
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이번에는 가우시안 분포의 PDF 그래프가 표준편차를 다르게 해주면 어떻게 달라지는지를 확인해보도록 하겠습니다.
표준편차가 커질수록 더 넓고 낮은 종의 형태가 되는 것을 확인하실 수 있습니다. 마찬가지로 라플라스 분포의 PDF 그래프도 스케일 파라미터 b의 변화에 따라 어떻게 변화하는지 살펴보겠습니다.
가우시안 분포와 비슷하게 스케일 파라미터를 크게 해주니 점점 낮아지고 넓어지는 형태가 되었습니다. 가우시안 분포든 라플라스 분포든 평균을 달리하면 좌우로 평행이동만 하기 때문에 그것에 대한 그래프는 생략하겠습니다.
마지막으로 정리하겠습니다. 가우시안 분포는 종모양, 라플라스 분포는 뾰족한 산모양입니다.^^
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