아래와 같은 선형시스템이 있다. 



이 선형시스템이 어떻게 Ux = c로, Rx = d로 감소되는지 살펴보자. 감소시키는 이유는 좀 더 쉽게 이 시스템을 이해하기 위함이다.



Ax = b -> Ux = c


먼저 A를 upper diagonal 형태(U)로 감소시켜주자. 메인 대각선 아래는 모두 0으로 만들어 주는 과정이다. 이에 따라 b는 c로 바뀐다. 



결과적으로 U와 c는



이다. 여기서 빨간색으로 강조한 친구들이 피봇(pivot)이다. 첫번째 피봇은 1이고 두번째 피봇은 3이다. 행렬 U는 upper diagonal이긴 하지만 직사각형 행렬이고 메인 대각선 위에 피봇들이 존재하지 않기 때문에 echelon 형태라고도 부른다. 



▶ Ux = c -> Rx = d


한 단계 더 나아가서 행렬 U를 reduced row echelon 형태(R)로 감소시켜보자. 피봇들은 1이 되게 하고, 피봇을 포함하고 있는 열의 다른 요소들은 0이 되게 만들면 된다. 이에 따라 벡터 c는 벡터 d로 바뀐다.  



이것을 통해 알게된 R과 d는 



이다. 피봇과 매칭되는 x의 요소들(여기서는)은 피봇 변수(pivot variable)가 되고, 나머지(여기서는 )는 자유 변수(free variable)가 된다. 그리고 피봇을 포함하고 있는 열은 피봇 열(pivot column)이 되고, 나머지 열은 자유 열(free column)이 된다. 

+ Recent posts

티스토리 툴바