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지난 강의 [bskyvision의 선형대수학, 제0강] 동기부여: 선형대수학 F 받았던 학생이 선형대수학을 이용해서 SCI 논문을 쓰다 [bskyvision의 선형대수학, 제1강] 벡터와 선형결합 [bskyvision의 선형대수학, 제2강] 점곱과 길이 [bskyvision의 선형대수학, 제3강] 행렬 [bskyvision의 선형대수학, 제4강] row picture와 column picture [bskyvision의 선형대수학, 제5강] 소거법 (elimination) 오늘은 지난 시간에 배운 소거법을 행렬(matrix)을 이용해서 구현해보도록 하겠습니다. 행렬을 이용해서 소거해야 할 대상들을 하나씩 소거할 것이고, 또한 행렬을 이용해서 row exchange도 진행할 것입니다. 소거법에 행렬을 이용할..

지난 강의 [bskyvision의 선형대수학, 제0강] 동기부여: 선형대수학 F 받았던 학생이 선형대수학을 이용해서 SCI 논문을 쓰다 [bskyvision의 선형대수학, 제1강] 벡터와 선형결합 [bskyvision의 선형대수학, 제2강] 점곱과 길이 [bskyvision의 선형대수학, 제3강] 행렬 [bskyvision의 선형대수학, 제4강] row picture와 column picture 오늘은 선형 방정식들을 푸는 방법 중 하나인 소거법(elimination)에 대해서 배우려고 합니다. 소거법은 이미 우리가 다 알고 있는 방법입니다. 그러나 이와 관련해서 삼각시스템(triangular system), 피벗(pivot), 전진소거(forward elimination), 후진대입(back subst..

지난 강의: [bskyvision의 선형대수학, 제0강] 동기부여: 선형대수학 F 받았던 학생이 선형대수학을 이용해서 SCI 논문을 쓰다 [bskyvision의 선형대수학, 제1강] 벡터와 선형결합 지난 시간에 우리는 벡터가 무엇인지, 그리고 그 벡터들을 선형결합한다는 것이 어떤 것인지에 대해서 배웠습니다. 오늘은 벡터의 점곱(dot product)과 길이(length)에 대해서 살펴보도록 하겠습니다. 준비되셨죠? 자, 시작합니다. 점곱(dot product) 점곱은 내적(inner product)이라고도 부릅니다. 아마 내적이란 단어가 좀 더 익숙한 분들이 많으실 것입니다. 두 벡터의 점곱은 다음과 같이 정의됩니다. 점곱은 같은 위치의 성분끼리 곱해준 것들을 모두 더하는 것입니다. 만약 v와 w가 다음..

지난 강의: [bskyvision의 선형대수학, 제0강] 동기부여: 선형대수학 F 받았던 학생이 선형대수학을 이용해서 SCI 논문을 쓰다 자, 이제 그러면 본격적으로 선형대수학 공부를 함께 시작해봅시다. 제0강을 읽지 않으신 분은 한번 읽고 오시는 것을 권해드립니다. 좀 더 동기부여가 될 것입니다. 벡터 먼저 벡터(vector)에 대한 이야기부터 하겠습니다. 고등학교를 졸업했다면 벡터가 그렇게 낯선 용어도 아닐 것입니다. 이렇게 생긴 친구들이 바로 벡터입니다. 매우 중요한 친구들이니 친해지셔야 합니다. 그래프로 나타내면 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. 위에 그린 벡터 v와 벡터 w는 각각 숫자 2개, 즉 2개의 성분(component)으로 구성된 벡터들이기 때문에, 모두 2차원 벡터들입니다. 성분들을 ..

그동안 bskyvision에는 컴퓨터비전, 영상처리, 딥러닝, 선형대수학, 코딩과 관련된 이런 저런 내용들을 산발적으로 포스팅해왔습니다. 2021년에는 하나의 주제를 심도있게 연재하고 싶다는 생각이 들었습니다. 그래서 선택한 주제는 바로 선형대수학(linear algebra)입니다. 선형대수학으로 말할 것 같으면, 제가 대학교 신입생 때 멋도 모르고 친구따라 수강했다가, 그 당시 F 폭격기로 유명하셨던 어떤 백발의 교수님께 F를 받았던 과목입니다. 제대로 폭격받았죠. 제가 대학생 때 받은 유일한 F이기도 했습니다. 중간고사, 기말고사 때 말 그대로 백지를 내고 왔던 기억이 있습니다. 사실 백지를 낼 것 같으면 아예 시험에 참석하지 않았을 텐데, 나름대로 시험은 봐야한다는 고등학생적 순진함(?)이 있었던 ..

오늘은 놈(norm)에 대해 설명을 드리고자 합니다. 놈은 노름으로 발음하기도 하는데 둘다 어감이 좀 그렇죠? 선형대수학에서 놈은 벡터의 크기(magnitude) 또는 길이(length)를 측정하는 방법을 의미합니다. 선형대수학이 낯선 분들이 처음에 헷갈려하시는 것이 있는데 차원(dimension)과 길이(length)는 분명히 다릅니다. 다음과 같은 벡터가 있다고 가정해보겠습니다. $x = \begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{bmatrix}$ 이 벡터의 차원은 3입니다. 길이가 3인 것이 아닙니다. 차원이 3이라는 것은 3차원 공간에 이 벡터를 그릴 수 있다는 것입니다. 벡터의 길이를 구하는 것은 바로 오늘 다룰 놈을 통해 할 수 있습니다. 놈에는 $L_1$ norm, $L_2$ n..

고유값분해는 선형대수학의 핵심 중의 핵심이라고 생각됩니다. 고유값과 고유벡터를 산술적으로 구하는 것은 그렇게 어렵지 않으나, 고유값과 고유벡터가 물리적으로 어떤 의미를 갖는지를 이해하는 것은 조금 난해합니다. 오늘은 제가 이해한 바를 다시 정리해보려고 합니다. 어떤 벡터에 어떤 행렬 A를 곱하면, 행렬 A의 고유값 중에서 가장 큰 고유값과 매칭되는 고유벡터의 방향에 가장 크게 영향을 받습니다. 이것이 무슨 말인지, 예를 통해 설명해보겠습니다. 다음과 같은 벡터가 있다고 가정해봅시다. 이 벡터에 다음과 같은 행렬 A를 곱해주겠습니다. 그러면 가 됩니다. 이 결과가 고유벡터와 무슨 상관이 있는지 살펴보겠습니다. 먼저 행렬 A의 고유값과 고유벡터를 구해보겠습니다. 2x2 행렬이므로 고유값은 비교적 간단히 구할..

안녕하세요. 비스카이비전의 심교훈입니다.^^ 오늘은 헤시안(Hessian) 행렬을 이용해서 극소점, 극대점, 안장점을 판정하는 것에 대해서 살펴보고자 합니다. 헤시안 행렬은 헤세 행렬로 불리기도 하더군요. 용어 정리: 극점, 극소점, 극대점, 최소점, 최대점, 안장점, 임계점 우선 용어들에 대해 정리 좀 하고 가겠습니다. 먼저 극소점, 극대점과 최소점, 최대점의 차이는 무엇일까요? 극소점(극대점)이라는 것은 국소적으로 최소값(최대값)을 갖는 점을 의미합니다. 극소점, 극대점을 통틀어 극점이라고 부릅니다. 반면, 최소점(최대점)은 전역적으로 최소값(최대값)을 갖는 점을 의미합니다. 따라서 여러 개의 극소점, 극대점은 존재할 수 있지만, 최소점, 최대점은 많아야 하나씩만 존재합니다. 극소점, 극대점, 최소점..

2차 정방행렬(정사각형행렬)의 역행렬을 구하는 법은 고등학교 수학과정을 배운 사람이라면 모두 다 알 것이다. 다음과 같은 2차 정방행렬이 있다. $A = \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ 이 행렬의 역행렬은 다음과 같다. $A^{-1} = -\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 4 & -2\\ -3 & 1 \end{bmatrix}$ 방금 나는 아래 공식에 따라 역행렬을 구했다. 아마 익숙한 공식일 것이다. 그런데 이 공식은 2차 정방행렬에만 적용될 수 있다. 만약 정방행렬의 차수가 3차, 4차,..., n차라면 역행렬을 어떤 방식으로 구할 수 있을까? 오늘은 바로 그에 대한 해결책에 대해 살펴보려고 한다. 가우스-요르단 소거법으로 n차 정방행렬의 ..

선형대수학 관련해서 오랜만에 포스팅을 합니다. 선형대수학은 영상처리 및 컴퓨터비전 분야를 연구하면 할수록 중요한 과목이라는 사실을 깨닫게 됩니다. 이미지를 행렬로 표현할 수 있고, 이미지에 어떠한 처리를 가하는 것은 결국 행렬의 연산이기 때문입니다. 오늘은 두 행렬의 곱에 대해 글을 쓰려고 합니다. 고등학교때 처음 행렬(matrix)에 대해 배웠을 때, 두 행렬의 곱을 구하는 방법은 단 한가지였다. 두 행렬의 곱을 바라보는 관점1: "행렬A와 행렬B를 곱한 결과 생성된 행렬AB의 (i, j) 요소는 행렬A의 i번째 행(row)과 행렬B의 j번째 열(column)을 곱한 것이다." 지금이야 이 방식을 이처럼 말로 표현할 수 있지만(매우 설명이 난해하긴 하지만), 그 당시만 해도 그냥 막연히 푸는 방법만 알..